Question

If x `in` R then `(x^(2)+2x+a)/(x^(2)+4x+3a)` can take all real values if
A. `a in (0, 2)`
B. `a in [0, 1]`
C. `a in [-1, 1]`
D. none of these

Answer 1

Correct option is B. a ∈ [0,1]

Let \(\frac {x^2 + 2x +a}{x^2 +4x + 3a} = k\)

⇒ x² + 2x + a = k(x² + 4x + 3a)

⇒ x² + 2x + a − k(x² + 4x + 3a) = 0

⇒ (1 − k)x² + (2 − 4k)x + (a − 3ka) = 0

Since x ∈ R, D ≥ 0

⇒ (2 − 4k)² − 4 x (1 − k) (a − 3ka) ≥ 0

⇒ 4 + 16k² − 16k − 4(a − 3ka − ak + 3k²a) ≥ 0

⇒ 4 + 16k² − 16k − 4a + 12ka + 4ak − 12k² a ≥ 0

⇒ 1 + 4k² − 4k − a + 3ka + ak − 3k² a ≥ 0

⇒ k²(4 − 3a) + k(4a − 4) + 1 − a ≥ 0

⇒ 4 − 3a > 0

⇒ 3a < 4

\(\therefore a < \frac {4}{3}\)

D < 0

⇒ (4a − 4)² − 4(4 − 3a) (1 − a) ≤ 0

⇒ 16(a − 1)² − 4(4 − 3a) (1 − a) ≤ 0

⇒ (1 − a) (4(1 − a) − 4 + 3a) ≤ 0

⇒ (1 − a) (−a) ≤ 0

⇒ (a − 1) a ≤ 0

⇒ a ∈ [0, 1]

Answer 2

Correct Answer - B
Let `y = (x^(2)+2x + a)/(x^(2)+4x+3a)`. Then, `x^(2)(y-1)+2(2y-1) x + a(3y-1)=0`
`rArr" "4(2y-1)^(2) - 4(y-1) a (3y-1) ge 0` for all `y in R" "[because x in R]`
`rArr" "(4-3a)y^(2)-4(1-a)y+1 - a ge 0` for all y `in` R
`rArr" "4 - 3a gt 0` and Discriminant `le 0`
`rArr" "a lt (4)/(3) and 16 (1-a)^(2) - 4(1-a)(4-3a) le 0`
`rArr" "a lt (4)/(3) and a (a-1) le 0`
`rArr" "a lt (4)/(3) and 0 le a le 1 rArr 0 le a le 1 rArr a rArr [0, 1]`