यदि a, b, c धनात्मक और भिन्न हैं तो सारणिक |{a, b, c}, {b, c, a}, {c, a, b}| का मान निकाले।

Question

यदि a, b, c धनात्मक और भिन्न हैं तो सारणिक \(\begin{vmatrix} a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{vmatrix}\) का मान निकाले।

Answer 1

\(\Delta =\begin{vmatrix} a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{vmatrix}\)

⇒ \(\Delta =\begin{vmatrix} {a +b+c}&b&c\\{a +b+c}&c&a\\{a +b+c}&a&b\end{vmatrix}\)

(संक्रिया C₁ → C₁ + C₂ + C₃ से)

⇒ \(\Delta =(a + b+c)\begin{vmatrix} 1&b&c\\1&c&a\\1&a&b\end{vmatrix}\)

[C₁ से (a + b + c) उभयनिष्ठ लेने पर।

⇒ \(\Delta =(a + b+c)\begin{vmatrix} 1&b&c\\1&c-b&a-c\\1&a-b&b-c\end{vmatrix}\)

(संक्रियाओं R₂ → R₂ - R₁ और R₃ → R₃ - R₁ से)

⇒ \(\Delta =(a + b+c)\begin{vmatrix} c-b&a-c\\a-b&b-c\end{vmatrix}\)

(R₁ के सापेक्ष प्रयास करने पर)

⇒ \(\Delta =(a + b+c) \{-(c - b)^2 - (a- b)(a -c)\}\)

⇒ \(\Delta =(a + b+c) (-a^2 - b^2 - c^2 + ab + bc + ca)\)

⇒ \(\Delta =-\frac 12(a + b+c) (2a^2+ 2b^2 +2c^2 -2 ab -2bc -2ca)\)

⇒ \(\Delta =-\frac 12(a + b+c) \{(a - b)^2 + (b - c^2) + (c -a)^2\}\)

⇒ \(\Delta < 0\)

\([\because a + b + c >0, (a - b)^2 >0, (b-c)^2 >0, (c - a)^2 >0]\)