Question

Find maximum and minimum values of following functions in given interval:

(a) 2x³ – 24x + 107, x ∈ [1, 3].

(b) 3x⁴ – 2x³ – 6x² + 6x + 1, x ∈ [0, 2]

(c) x + sin 2x, x ∈ [0, 2π]

(d) x³ – 18x² + 96x, x ∈ [0, 9]

Answer 1

(a) Let y = 2x³ – 24x + 107, x ∈ [1,3]

dy/dx = 6x² – 24

For maxima or minima

dy/dx = 0 ⇒ 6x² – 24 = 0

⇒ x = ± 2.

∵ x ∈ [1, 3]

∴ x = 2

Now, y₁ = 2(1)³ – 24(1) + 107

= 2 – 24 + 107 = 85

y₂ = 2(2)³ – 24(2) +107

= 16 – 48 + 107 = 75

y₃ = 2(3)³ – 24(3) + 107

= 54 – 72 + 107 = 89

Hence, maximum value is 89 at x = 3 where as minimum value is 75 at x = 2.

(b) Let y = 3x⁴ – 2x³ – 6x² + 6x + 1,

x ∈ (0, 2)

dy/dx = 12x³ – 6x² – 12x + 6

= 6(2x³ – x² – 2x + 1)

For maxima or minima

Now y₁ = 3(1)⁴ – 2(1)³ – 6(1)² + 6(1) + 1

⇒ y₁ = 3 – 2 – 6 + 6 + 1 = 2

⇒ y_-1 = 3 (- 1)⁴ – 2 (-1)³ – 6(- 1)² + 6(- 1) + 1

⇒ y_-1 = 3 + 2 – 6 – 6 + 1 = -6

⇒ y₀ = 3(0)⁴ – 2(0)³ – 6(0)² + 6(0) + 1

⇒ y₀ = 1

⇒ y₂ = 3(2)⁴ – 2(2)³ – 6(2)² + 6(2) + 1

= 48 – 16 – 24 + 12 + 1 = 21

∴ Hence, maximum value of function is 2π at x = 2π and minimum value of function is 0 at x = 0.

(d) x³ – 18x² + 96x, x ∈ [0, 9]

y₄ = (0)³ – 18(0)² + 96(0)

= 64 – 288 + 384 = 160

y₈ = (8)³ – 18(8)² + 96 × 8

= 512 – 1152 + 768

= 128

y₉ = (9)³ – 18(9)² + 96(9)

= 729 – 1458 + 864= 135

So, at x = 0 minimum value = 0

and at x = 4 maximum value = 160