(i) \(\frac 1x - \frac 1{x - 2} = 3\)
⇒ 3x(x − 2) = x − 2 − x
⇒ 3x2 − 6x + 2 = 0
⇒ 9x2 − 18x + 6 = 0
⇒ (3x)2 − 2(3x)(3) + 32 − 3 = 0
⇒ (3x − 3)2 = 3
⇒ 3x − 3 = ± √3
⇒ \(x = \frac{3 \pm \sqrt 3}3\)
⇒ \(x = 1 \pm \frac 1{\sqrt 3}\)
⇒ \(x = 1 + \frac 1{\sqrt 3}\) or \( 1 - \frac 1{\sqrt 3}\)
(ii) \(\frac 1{x - 1} - \frac 1{x + 5}= \frac 67\)
\(\frac 6{x^2 + 4x - 5} = \frac 67\)
x2 + 4x - 12 = 0
x2 + 6x - 2x - 12 = 0
x(x + 6) - 2(x + 6) = 0
(x + 6)(x - 2) = 0
Therefore,
x - 2 = 0
x = 2
or,
x + 6 = 0
x = -6
Hence, x = 2 or x = -6.
(iii) \( x - \frac 1x = 3\)
⇒ x2 − 3x − 1 = 0
⇒ \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
⇒ a = 1, b = −3, c = −1
⇒ \(x = \frac{3 \pm \sqrt {9 + 4}}2\)
⇒ \(x=\frac{3 \pm \sqrt {13}}2\)
⇒ \(x=\frac{3 + \sqrt {13}}2\) or \(\frac{3 - \sqrt {13}}2\)
(iv) \(\frac 1{(x + 4)} - \frac 1{(x - 7)} = \frac{11}{30}\)
⇒ \(\frac{(x - 7 - x -4)}{(x + 4)(x - 7)} = \frac{11}{30}\)
⇒ \(\frac{-11}{(x + 4)(x - 7)} = \frac{11}{30}\)
⇒ −30 = x2 − 3x − 28
⇒ x2 − 3x + 2 = 0
⇒ x2 − 2x − x + 2 = 0
⇒ x(x − 2) − 1(x − 2) = 0
⇒ (x − 2)(x − 1) = 0
⇒ x = 1, 2