Let A = R – {3} and B = R – {1} consider the function f: A → B defined by f(x) = x-2/x-3

Question

Let A = R – {3} and B = R – {1} consider the function f: A → B defined by f(x) =\(\frac{x-2}{x-3}\) is f one-one and onto? Justify your answer.

Answer 1

Given; 

f: A → B, A = R – {3} and B = R – {1}

f(x₁) = f(x₂) ⇒ \(\frac{x_1-2}{x_1-3}\) = \(\frac{x_2-2}{x_2-3}\)

⇒ (x₁ – 2)(x₂ – 3) = (x₂ – 2)(x₁ – 3)

⇒ x₁x₂ – 2x₂ – 3x₁ + 6 = x₂x₁ – 2x₁ – 3x₂ + 6

⇒ -2x₂ – 3x₁ = – 2x₁ – 3x₂ ⇒ x₁ = x₂

Hence one-one

Let y ∈ B ⇒ f(x) = y ⇒ \(\frac{x_1-2}{x_1-3}\) = y

⇒ x – 2 = xy – 3y

⇒ x – xy = 2 – 3y

⇒ x(1 – y) = 2 – 3y 

⇒ \(\frac{2-3y}{1-y} = y\) ∈ A =

Hence onto. Therefore objective.