Question

निम्न रैखिक प्रोगामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल करो

निम्नतम Z = 3x + 5y

व्यवरोध x + 3y ≥ 3

x + y ≥ 2 तथा x ≥ 0, y ≥ 0

Answer 1

व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर

x + 3y = 3 ….(1)

x + y = 2 …(2)

असमिका x + 3y ≥ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –

रेखा x + 3y = 3 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(3, 0) तथा B(0, 1) बिंदुओं पर मिलती है।

x + 3y = 3 के गानों के लिए सारणी

x	3	0
y	0	1

A(3, 0), B(0, 1)

बिंदुओं A(3, 0) तथा B(0, 1) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूलबिंदु प्रतिस्थापित करने पर0 + 3(0)  = 0 ≥ 3

अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है, इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।

असमिका x + y ≥ 2 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –

रेखा x + y = 2 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(2, 0) तथा D(0, 2) बिंदुओं पर मिलती है।

x + y = 2 के मानों के लिए सारणी

x	2	0
y	0	2

C(2, 0); D(0, 2)

बिंदुओं C(2, 0) तथा D(0, 2) को अंकित करके रेखा का आलेख खींचते है। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर,
0 + 0 = 0 ≥ 2

अत: असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0

चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा।

x + 3y = 3 तथा x + y = 2 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक होंगे।छायांकित क्षेत्र AED सुसंगत अपरिबद्ध है। उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक A(3, 0), E(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) D(0, 2) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये हैं।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z = 3x+4y
O	3	0	ZO = 3×3+5(0) = 0
E	\(\frac{3}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	ZE = 3(\(\frac{3}{2}\))+5(\(\frac{1}{2}\)) = 7
D	0	2	ZD = 3(0)+5(2) = 10

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु E(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) पर फलन का मान निम्नतम है। अतः x = \(\frac{3}{2}\), y = \(\frac{1}{2}\) पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथ निम्नतम मान Z = 7 है।