माना भोज्य I की x किग्रा तथा भोग्य II की y किग्रा. की मात्रा मिश्रण में है।
∴प्रश्नानुसार 5 प्रति किग्रा को दर से x किग्रा का मूल्य
= Rs 5x तथा Rs 7 प्रति किग्रा की दर से y किग्रा का मूल्य = Rs 7y
∴मिश्रण का कुल लागत न्यूनतम मूलय = 5x + 7y
अत: न्यूनतम मूल्य उद्देश्य फलन z = 5x + 7y मिश्रण में भोज्य I के x किग्रा मात्रा में विटामिन A की कुल इकाई = 2x तथा मिश्रण में भोज्य II के y किग्रा मात्रा में विटामिन A की कुल इकाई = y
∴प्रश्नानुसार व्यवरोध 2x + y ≥ 8 ….(1)
इस प्रकार मिश्रण में भोज्य I के x किग्रा. मात्रा मेंविटामिन C की कुल इकाई = x तथा मिश्रण में भोज्य II के y किग्रा मात्रा में विटामिन C की कुल इकाई = 2y
∴ प्रश्नानुसार व्यवरोध x + 2y = 10 …(2) तथा x ≥ 0, y ≥ 0
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण न्यूनतम लागत मूल्य फलन
z = 5x + 7y
2x + y ≥ 8
x + 2y ≥ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोध के रूप में प्राप्त असमिकाओं को समीकरण के रूप में व्यक्त करने पर
2x + y = 8 …(1)
x + 2 = 10 …(2)
असभिका 2x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2 + y = 8 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(4, 0) तथा B(0, 8) पर मिलती है। 2x + y = 8 के मानों के लिए सारणी
A(4, 0); B(0, 8) बिंदु A(4, 0) तथा B(0, 8) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते है। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 0 = 0 ≥ 8 असभिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अत: समस्या का सुसंगत हुल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
असमिका x + 2y ≥ 10 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 10 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(10, 0) तथा D(0, 5) पर मिलती है। x + 2y = 10 के मानों के लिए सारणी
C(10, 0); D(0, 5) बिंदु C(10, 0) तथा D(0, 5) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 10 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अत: समस्या का हल क्षेत्र मूल बिंदु से विपरीत और होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद होगा।
रेखा 2x + y = 8 तथा x + 2y = 10 के प्रतिच्छेद बिंदू E के निर्देशांक x = 2 था y = 4 छायांकित भाग CEB उपर्युक्त असमिकाओं द्वारा उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। जिसके कोनीय बिंदु C(10, 0), E(2, 4), B(0, 8) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान नीचे सारणी में दिये गये हैं।
| बिन्द |
x निर्देशांक |
y निर्देशांक |
उददेश्य फलन
Z = 5x + 7y |
| C |
10 |
0 |
ZC = 5 x 10 + 7 x 0 = 50 |
| E |
4 |
4 |
ZE = 5 x 2 + 7 x 4 = 38 |
| B |
8 |
8 |
ZB = 5 x 0 + 7 x 8 = 56 |
सारणी में बिंदु E(2, 4) पर उद्देश्य फलन का मान निम्नतम Rs 38 है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अत: असमिका 5x + 7y ≤ 38 द्वारा निर्धारित परिणामी तुला अद्भुतल, सुसंगत क्षेत्र के माध्य कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं रखता है।
अत: उद्देश्य फला निन्नतम Z = 3x + 7
व्यवरोध 2x + y ≥ 8
x + 2y ≥ 10
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
मिश्रण में भोज्य I की 2 किग्रा तथा II की 4 किग्रा मात्रा मिलाने पर कुल न्यूनतम मूल्य Rs 38 है।
