माना एक प्रकार के केक तथा दूसरे प्रकार के y केक तैयार होते हैं। अत: केक की अधिकतम सीमा का उद्देश्य फलन Z = x + y
व्यवरोध के रूप में पहले प्रकार के केक में आटा 300x ग्राम तथा दूसरे प्रकार के केक में आटा 150y ग्राम ।
अत: प्रश्नानुसार 300x + 150y ≤ 7500 ग्राम
दूसरे व्यवरोध के रूप में पहले प्रकार के केक में वसा 15x ग्राम तथा दूसरे प्रकार के केक में वसा 30y ग्राम
अत: प्रश्नानुसार, 15x + 30 ≤ 600 ग्राम
दी गई केकों की संख्या कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः x ≥ 0 तथा y ≥ 0 इसलिये दी गई रैखिक प्रोगामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है अधिकतम Z = x + y
व्यवरोध 300x + 150y ≤ 7500
15x + 30y ≤ 600
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर
300x + 150y ≤ 7500
2x + y ≤ 50 ….(1)
तथा 15x + 30y ≤ 600
x + 2y ≤ 40 …(2)
असमिका 2x + y ≤ 50 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + y = 50 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(25, 0) तथा B(0, 50) पर मिलती है।
2x + y = 50 के मानों के लिए सारणी
A(25, 0); B(0, 50) बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 0 = 0 < 50 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः इस असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x + 2y ≤ 40 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + 2y = 40 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(40, 0) तथा (0, 20) पर मिलती है। x + 2y = 40 के मानों के लिए सारणी
C(40, 0); D(0, 20) बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≤ 40 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।
रेखा x + 2y = 40 तथा 2x + y = 50 का प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक x = 20 तथा y = 10. छायांकित क्षेत्र OAED दी गई असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दो गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(25, 0), E(20, 10) तथा D(0, 20) है।।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारणी में दिये गये है
| बिन्द |
x निर्देशांक |
y निर्देशांक |
उदेश्य फ्लन Z = x + y |
| O |
0 |
0 |
ZO = 0+0 = 0 |
| A |
25 |
0 |
ZA = 25+0 = 25 |
| E |
20 |
10 |
ZE = 20+10 = 30 |
| D |
0 |
20 |
ZD = 0+20 = 20 |
सारणो से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिंदु E(20, 10) पर अधिकतम 30 है। अत: पहले प्रकार के केकों की संख्या 20 तथा दूसरे प्रकार के केकों की संख्या 10 है।
