व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर,
2x + y = 3 …(1)
x + 2y = 6 …(2)
असमिका 2x + y ≥ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + y = 3 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(3/2, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
2x + y = 3 के मानों के लिए सारणी
A(3/2, 0), B(0, 3)
बिंदुओं (3/2, 0) तथा B(0, 3) को अंकित करते हुये रेख का समीकरण खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
2(0) + (0) = 0 ≥ 3
अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है, इसलिये असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x + 2y ≥ 6 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + 2y = 6 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(6, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
x + 2y = 6 के मानों के लिए सारणी
C(6, 0), B(0, 3)
बिंदुओं C(6, 0) तथा B(0, 3) को अंकित करते हुए रेखा का आलेख खचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
0 + 2(0) ≥ 6
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
असमिका r ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम पाट में होगा।
रेखाओं 2x + y = 3 और x + 2y = 6 के प्रतिच्छेद बिंदु B के निर्देशांक x = 0 तथा y = 3 हैं।
छायांकित क्षेत्र OCB में रेखा CB पर स्थित प्रत्येक बिंदु दी हुई। असमिकाओं को सन्तुष्ट कर रहा है। अतः इन बिंदुओं पर फलन के निम्नतम मान निम्न सारणी में दिये गये हैं।
बिन्द, |
x निर्देशांक |
y निर्देशांक |
उद्देश्य फलन Z = x+2y |
0 |
0 |
0 |
ZO = 0+2(0) = 0 |
B |
0 |
3 |
ZB = 0+2(3) = 6 |
C |
6 |
0 |
ZC = 6+2(0) = 6 |
उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्ट्तम हल रेखा BC पर स्थित प्रत्येक बिंदु है तथा इन बिंदुओं पर निम्नतम मान Z = 6 है।